Nos acercamos al final de nuestro paseo matemático.
Continuamos visitando ahora los lugares geométricos de los triángulos,
puntos y rectas que nos completarán todo lo necesario para elaborar la Guía Turística Matemática.
Seguro que te sorprenden todos los secretos que ocultan los triángulos.
¿Terminamos nuestro paseo?
Muchas veces definimos una figura geométrica por medio de una imagen, un dibujo.
En Matemáticas ampliamos la idea y también nos referimos a un conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una condición y que solamente ellos la cumplen. Decimos entonces que es un lugar geométrico del plano.
Un ejemplo muy importante es la circunferencia. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (el centro) es una cantidad constante (el radio).
En la figura siguiente, los puntos P y Q equidistan del centro, como los infinitos puntos que componen la circunferencia.
Por otro lado, las rectas son también lugares geométricos. Por ejemplo, la mediatriz del segmento AB de la figura está constituida por todos los puntos que equidistan de los extremos A y B, como M y N, por ejemplo: MA = MB; NA = NB.
En cualquier triángulo podemos encontrar ciertos lugares geométricos, unas rectas muy importantes. Tanto, que se denominan "notables": las medianas, las mediatrices, las alturas y las bisectrices.
Van siempre en grupos de tres, puesto que tres son los lados y tres los ángulos de un triángulo.
Antes de empezar, recuerda...
Muchas veces definimos una figura geométrica
por medio de una imagen,
por un dibujo.
En Matemáticas ampliamos la idea .
También nos referimos a un conjunto de todos los puntos del plano
que cumplen una condición y que solamente ellos la cumplen.
Decimos entonces que es un lugar geométrico del plano.
Un ejemplo muy importante es la circunferencia.
Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya distancia a un punto fijo (el centro)
es una cantidad constante (el radio).
En la figura siguiente, los puntos P y Q equidistan del centro,
como los infinitos puntos que componen la circunferencia.
Lugares geométricos circunferencia y mediatriz.
Por otro lado, las rectas son también lugares geométricos.
Por ejemplo, la mediatriz del segmento AB de la figura está constituida por todos los puntos que equidistan de los extremos A y B,
como M y N, por ejemplo: MA = MB; NA = NB.
En cualquier triángulo podemos encontrar ciertos lugares geométricos, unas rectas muy importantes.
Tanto, que se denominan "notables": las medianas, las mediatrices, las alturas y las bisectrices.
Van siempre en grupos de tres, puesto que tres son los lados y tres los ángulos de un triángulo.
Las medianas de un triángulo de vértices A, B y C son las rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto.
Para trazarlas, es preciso situar primero el punto medio de cada lado del triángulo.
Observa en la figura los puntos D, E, F.
Nuestras tres medianas son las rectas que pasan: la primera, por A y F; la siguiente, por B y E; la última, por C y D.
En nuestra figura, sólo son visibles, en rojo, los segmentos de mediana que ocupan el interior del triángulo.
Las tres medianas de cualquier triángulo se cortan en un punto denominado baricentro.
En la animación se aprecia que, aunque cambie el tipo de triángulo,
el baricentro G siempre es común a las tres medianas y siempre es un punto interior del triángulo.
Puedes comprobar una propiedad geométrica:
La distancia desde el baricentro a cada vértice es el doble de su distancia al punto medio del lado opuesto correspondiente
\(\textsf{AG}=2\cdot\textsf{GF}, \hspace{2mm} \textsf{BG}=2\cdot\textsf{GE}, \hspace{2mm} \textsf{CG}=2\cdot\textsf{GD}\)
Por último, el baricentro de un triángulo coincide con su centro de gravedad.
Puedes dibujar un triángulo cualquiera en cartón, plástico o madera de balsa y recortarlo.
Luego, localizas su baricentro de la manera que has aprendido y atas un hilo en ese punto.
Si ahora lo sujetas del otro extremo en alto y esperas a que deje de moverse, el triángulo estará en equilibrio, en posición completamente horizontal.
Como recordarás, la mediatriz de un segmento es la recta que lo corta perpendicularmente por su punto medio.
En la figura vemos otra vez el triángulo ABC y los puntos medios de sus lados.
Se han trazado en color fucsia las tres mediatrices de los lados, que son rectas perpendiculares a cada lado
y que los cortan por cada uno de sus puntos medios.
En concreto, la mediatriz \(m_{AC}\) es perpendicular al lado AC por su punto medio, E.
Todos los infinitos puntos de esa recta están a la misma distancia (equidistan) de A y C.
Es curioso observar que esas tres mediatrices se cortan en un punto: se denomina circuncentro.
La figura muestra las mediatrices y el circuncentro de un nuevo triángulo (que es isósceles),
con el mismo lado AC que el anterior, pero en el que se ha desplazado el vértice B.
Lógicamente, el circuncentro cambia de posición, pero sigue siendo el punto donde se cortan las tres mediatrices.
Ese punto tan especial va a ser el protagonista de una de las páginas de nuestra Guía.
En efecto, la distancia que existe entre el circuncentro y cada uno de los tres vértices es la misma.
El circuncentro "equidista" de los tres vértices del triángulo.
Decimos en Geometría que es el centro de la circunferencia circunscrita, la que pasa por los tres vértices.
Como vemos, el circuncentro se sitúa en este caso en el exterior del triángulo.
La estudiaremos en las actividades.
Una altura de un triángulo es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
Nada se dice acerca del punto del lado opuesto por donde corta, salvo que se denomina "pie" de la altura.
Como es lógico, no es única: se pueden trazar tres alturas en cualquier triángulo.
Es conveniente aclarar que el término "altura" que recuerdas de los años anteriores (en la fórmula del área de un triángulo, por ejemplo)
indica la "longitud del segmento altura", que no es más que una parte de la recta que estamos estudiando aquí.
En la figura se ha resaltado el segmento altura BH, correspondiente a la recta del vértice B,
con la idea de distinguirlo de la recta altura \(h_B\).
El punto H es el pie de la altura correspondiente a B.
Las tres alturas de todo triángulo se cortan en un punto notable llamado ortocentro, de gran importancia en Dibujo Técnico.
El ortocentro no tiene por qué encontrarse siempre dentro del triángulo,
igual que ocurría con el circuncentro (pero no con el baricentro).
En la figura vemos algunos tipos de triángulos y la situación del respectivo ortocentro.
Además, el circuncentro y el ortocentro se localizan en puntos especiales para el caso de triángulos especiales.
Ello permite clasificar los triángulos según dónde estén estos puntos notables, como verás en las actividades.
La última de las rectas notables del triángulo de las que hablaremos es la más desconocida en Matemáticas de Secundaria: la bisectriz de un ángulo.
En un ángulo delimitado por sus dos rectas que se cortan en el vértice, la bisectriz es la recta cuyos puntos equidistan de las dos rectas.
La propiedad importante es que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos regiones de la misma amplitud angular.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior, el denominado incentro.
Por equidistar de cada dos lados del triángulo, entonces ese punto equidista de los tres.
El incentro es también el centro de la circunferencia inscrita al triángulo,
que es la que toca en un punto a los tres lados, a la misma distancia.
Esa longitud es precisamente el radio de esta circunferencia.
Imagina, por ejemplo, que los vértices del triángulo de la figura fuesen tres pueblos de la Sierra de Aracena y nos encontramos de acampada en IC.
Supongamos, además, que los lados del triángulo son carreteras más o menos rectilíneas.
En esas condiciones, los puntos I, J y K serían los más próximos por donde podríamos alcanzar un vehículo de ayuda.Un senderista encuentra en su ruta una bomba de un antiguo grupo terrorista. Las fuerzas de seguridad establecen la prohibición de acercarse a menos de 50 metros. ¿Cómo se debe acordonar la zona? En otras palabras, ¿qué figura geométrica forman los puntos de la barrera límite?
Si queremos que la barrera permita a todas las personas acercarse como máximo a 50 metros, la misma distancia para todos los puntos, deber tener forma de circunferencia.
Un juego de dos participantes consiste en que se sitúan a una distancia de dos metros entre sí y se ponen varias banderas a la misma distancia de ambos. La primera a 5 metros, la segunda a 10 metros, la tercera a 15 y así sucesivamente. ¿Sobre qué línea imaginaria estarían situadas las banderas?
Los dos participantes están en los extremos de un segmento de 2 m de longitud. Cada bandera equidista de ambos, luego los puntos donde se van situando todas son los de la mediatriz del segmento citado.
Un escarabajo anda por una mediana de un triángulo partiendo del vértice. Cuando llega al baricentro ha recorrido 8 centímetros. ¿Qué distancia le falta para llegar al punto medio del lado opuesto al vértice de donde partió?
Dibujamos la figura. El vértice A es el punto de partida del escarabajo. Su camino es la mediana que pasa por A, \(\hspace{1mm}m_A\). Cuando llega al baricentro G, ha recorrido una distancia AG = 8 cm. Pero sabemos que el baricentro dista el doble de un vértice que del punto medio del lado opuesto, luego lo que le falta es la mitad de 8, es decir, 4 cm.
Queremos situar una farola en una plaza triangular, de forma que ilumine por igual los puntos extremos de la plaza. ¿Dónde la pondríamos?
La farola debe encontrarse a la misma distancia de los tres extremos. Si los consideramos como los vértices de un triángulo, la posición de la farola ha de ser el circuncentro del triángulo.
Tenemos un huerto triangular sin vallar y queremos atar una cabra de forma que no salga del huerto pero que alcance la máxima superficie de hierba posible. ¿Dónde pondríamos el poste?
Pretendemos que la cabra no salga de los lados del huerto triangular, aunque llegue al borde para aprovechar toda la hierba posible. Si la cuerda tiene una longitud máxima constante, la zona del huerto que se come es un círculo, luego el poste estaría clavado en el centro de ese círculo inscrito, es decir, en el incentro del triángulo.
Una vez que ya conoces los puntos notables del triángulo, te interesará saber que tres de ellos están siempre alineados. ¿Cuáles son?
Existe una recta que pasa por ellos tres: la recta de Euler. Incluso existe un tipo de triángulo muy especial en el que los cuatro puntos notables están alineados en esa recta.
La siguiente actividad Geogebra te permitirá mover los vértices de un triángulo para comprobar todo lo que te decimos. ¡Adelante!
Trabaja en grupo con el siguiente geogebra y realiza la propuesta que se indica a continuación.
Responde a cada una de estas cuestiones en tu cuaderno.
Seguro que no sabías que los triángulos escondían tantos secretos. Revelarlos ha sido crucial.
Ahora es el momento de comprobar qué lo has aprendido todo realizando la siguiente propuesta de ejercicios
Vamos a recordar las familias de "rectas notables" del triángulo y los correspondientes "puntos notables" donde se corta cada grupo de ellas.
Sigue estas instrucciones.
1) Lee la información de cada una de las rectas notables, pulsando sobre el triangulito rojo correspondiente.
2) Observa el trazado activando la casilla con su nombre.
3) Juega a identificar los elementos:
a) Crea tus propios triángulos moviendo los vértices.
b) Identifica los elementos representados en cada construcción.
c) Supera todos los niveles propuestos
Investiga cómo realizar cada una de estas construcciones y realiza la propuesta en tu cuaderno
Con ayuda de regla y compás, dibuja la mediatriz de un segmento inclinado de 7 cm de longitud y la bisectriz de un ángulo de 45º.
Dibuja en la ficha un triángulo de lados 7, 6 y 4 cm. Traza en él las circunferencias inscrita y circunscrita.
Dibuja en un papel un triángulo con uno de sus lados de 12 cm y ángulos adyacentes a él de 40º y 30º. Encuentra su ortocentro y su baricentro.
Dibuja un triángulo con un ángulo de 40º comprendido entre dos lados de 12 y 8 cm. Localiza su circuncentro y su incentro.
Dibuja un triángulo isósceles con el ángulo desigual de 60º. Traza las mediatrices y las medianas para el lado desigual y para uno de los lados iguales. ¿Qué observas?
Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 4 cm y 3 cm. Calcula la hipotenusa por el teorema de Pitágoras. Comprueba con una regla graduada que el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa.
Lee los párrafos que aparecen a continuación y completa el hueco con los lugares geométicos a los que hacen referencia.
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